FUNÇÕES INVERSAS

Considere uma função f bijetora no conjunto A para o conjunto B. Como f é uma função sobrejetiva, todo elemento de B é a imagem de um único elemento no conjunto A. Consequentemente, podemos definir uma nova função de B para A que inverte a correspondência dada por f.

Define-se uma função inversa como: Seja f uma função bijetora do conjunto A para o conjunto B. A função inversa de f é a função que leva a um elemento b, que pertence a B, o único elemento a no conjunto A, tal que f(a)=b. A função inversa de f é indicada por f^-1. Assim, f^-1(b)=a quando f(a)=b.  

Deve-se policiar para não confundir a função f^-1 com a função 1/f, que é a função que toma para cada x do domínio o valor 1/f(x). Note que esta ultima só faz sentido quando f(x) é um número real diferente de zero. Essas duas funções f^-1 e 1/f não são iguais.

Se uma função f não é uma bijeção, não podemos definir uma função inversa de f. Quando f não é uma bijeção, ela não é injetora ou não é sobrejetiva. Se f não é injetora, algum elemento b do contradomínio é a imagem de mais de um elemento do domínio. 

Se f não é sobrejetiva, para algum elemento b do contradomínio, não existe um elemento a no domínio para que f(a)=b. Consequentemente, se f não é uma bijeção, não podemos determinar para cada elemento b do contradomínio um único elemento a do domínio, tal que f(a)=b (porque para algum b há mais de um elemento a ou não há projeção para a).

Uma bijeção é chamada de inversível, pois podemos definir uma função inversa. Uma função é não-inversível se não é uma bijeção, porque não existe a função inversa.

Execícios: